反函数与原函数的关系:反函数和原函数之间怎样转化

目录1.反函数和原函数之间怎样转化2.反函数的导数与原函数的导数的关系是什么3.反函数与原函数的增减性和奇偶性相同吗4.反函数的二阶导数与原函数二阶导数的关系5.原函数的导数与原函数的反函数的关系是什么6.反函数定义域和原函数定义域相同吗7.原函数的导数和反函数的导数为什么是倒数关系1.反函数和原函数之间怎样转化1、确定原函数的值域2、解方程求出x3、交换x,y，标明定义域。求函数y=x^2，0的反函数。解：0.解y=x^2得x=√y.所以y=x^2,0的反函数为y=√x。2.反函数的导数与原函数的导数的关系是什么原函数和反函数关于y=x对称，原函数的导数和反函数的导数自然也关于y=x对称。3.反函数与原函数的增减性和奇偶性相同吗一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，奇函数不一定存在反函数，若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。在函数x=f-1(y)中，x是函数，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，那么函数y=f-1(x)的反函数就是y=f(x)，函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数。互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数一定有反函数，如二次函数在R内不是反函数，可以求反函数；反比例函数等函数不单调。4.反函数的二阶导数与原函数二阶导数的关系这个涉及到微分问题额,高中没讲.设y=f(x),其反函数为x=g(y),可以得到微分关系式：dy=(df/dx=(dg/由导数和微分的关系我们得到,原函数的导数是 df/dx,反函数的导数是 dg/dx = 1/(dg/dx) .即：5.原函数的导数与原函数的反函数的关系是什么这个涉及到微分问题额,高中没讲.设y=f(x),其反函数为x=g(y),可以得到微分关系式：dy=(df/dx)dx ,dx=(dg/dy)dy .那么,由导数和微分的关系我们得到,原函数的导数是 df/dx = dy/dx,反函数的导数是 dg/dy = dx/dy .所以,可以得到 df/dx = 1/(dg/dx) .即 ：原函数的导数等于反函数导数的倒数。6.反函数定义域和原函数定义域相同吗反函数定义域和原函数值域相同 反函数值域和原函数定义域相同一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,用y把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，x在A中都有唯一的值和它对应，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数。7.原函数的导数和反函数的导数为什么是倒数关系首先必须明白是什么样的反函数。我们一般设一个原来的函数y=f（x）。那么反函数就设为y=f^-1（x），这两个图像关于y=x这条直线对称。但是这样的原来函数和反函数之间的导数，必须是写成x=f^-1（y）形式的反函数，其导数才是和原来函数的导数成倒数关系。在同一个x-y坐标系内，原函数y=f（x）和反函数x=f^-1（y）是同一个图像，那么对于函数上同一个点（x0，当然就是同一条切线。在原函数y=f（x）中，就是x轴正半轴转到切线的角度的正切。而反函数x=f^-1（y）中，就是y轴正半轴转到切线的角度的正切。而这两个函数在同一个x-y坐标系内是同一条曲线，在同一个点（x0，y0）处是同一条切线。x轴正半轴转到切线的角度”那么这两个角的正切当然就互为倒数。原函数的导数和反函数的导数成倒数关系”设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x)。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f(y)或者y=f﹣¹存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。上标"−指的并不是幂。在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；则称y=f(x)在D上严格单调递减。设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。对D中任一x'<任一x'都有y''>总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义。